75. 그림과 같은 파형의 라플라스 변환은?

75. 그림과 같은 파형의 라플라스 변환은?

① (1－2e^s)/s²
② (1－2e^-s)/s²
③ (1－2e^s＋e^2s)/s²
④ (1－2e^-s＋e^-2s)/s²

• 설명

-  Laplace transform의 정의는 알고 있어야 풀 수 있는 문제다.
- 구역을 4구역으로 나누어서 단순 적분하면 된다.
- 부분 적분이 들어가서 계산이 좀 까다롭다.
- 아래 적분 공식 참고하세요!
- 이제 삼각파(triangle wave)를 라플라스 변환해보자! 

Triangle wave Laplace transform

답은 ④

개인적으로 푼 거라서 틀릴 가능성 있습니다.
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비슷한 문제 1

Q. f(t)=u(t-a)-u(t-b)식으로 표시되는 4각파의 라플라스 변환은?

① (e^-as- e^-bs)/s      ② (e^as+e^bs)/s
③ (e^-as-e^-bs)/s²     ④ (e^as+e^bs)/s²

 

• 설명

- 사각파의 라플라스 변환 문제이다.
- 두 가지 방법으로 풀 수 있다.
풀이 ①: Laplace transform 정의에 의한 적분
풀이 ②: Laplace transform table 이용
- 둘 다 쉬우니 편한 거 이용하자!
- 이제 사각파(square wave)를 라플라스 변환해보자!

Square wave Laplace transform

답은 ①

 

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비슷한 문제 2

Q. cost·sint의 라플라스 변환은?

 

• 설명

- 라플라스 변환표로 풀면 된다. (풀이 ①)
- 근데 시험장 가면 꼭 기억 안 난다.
- 그러니까 아래와 같이 풀어보자! (풀이 ②)
- 삼각함수 배각의 공식과 오일러 공식만 알고 있으면 단순 적분 계산으로 쉽게 풀린다.

삼각함수의 라플라스 변환

답은 ①

오일러 공식을 이용한 라플라스 변환

오일러 공식

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비슷한 문제 3

Q. f(t)＝t²e^-at를 라플라스 변환하면?

① 2/(s＋a)²
② 3/(s＋a)²
③ 2/(s＋a)³
④ 3/(s＋a)³

• 설명

- 라플라스 변환표에 e^-at 와 te^-at 는 있다.
- 근데 t²e^-at 이 없다. ㅠㅠ
- 그러면 단순 적분 계산으로 풀자!
- 풀이 ①: 도함수의 라플라스 변환을 이용하자!
- 풀이 ②: 적분 계산으로 풀자! (부분적분이 들어가 복잡하다.)
- 부분적분은 복잡해서 풀이 ①를 추천한다.

도함수의 라플라스 변환

답은 ③

부분적분을 이용한 라플라스 변환

도함수의 라플라스 변환

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비슷한 문제 4

Q. f(t)＝tⁿ의 라플라스 변환 식은?

① n/sⁿ      ②  (n+1)/sⁿ⁺¹
③  n!/sⁿ⁺¹   ④  (n+1)/s^n!

 

• 설명

-  이 문제는 엄청 복잡한 부분적분이 많이 들어간다.
- 그래서 어쩔 수 없이 라플라스 변환표로 풀어야 한다.
- 여기서 느낌표 !는 팩토리얼(factorial)
- 예: 4!＝4×3×2×1＝24

t^n의 라플라스 변환

답은 ③

 

- 라플라스 변환표 update 하였으니 참고하세요~

Laplace Transform Table

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